Surprising Properties of Centralisers in Classical Lie Algebras

Let g be a classical Lie algebra, i.e., either gl n , sp n , or son and let e be a nilpotent element of g. We study various properties of centralisers ge. The first four sections deal with rather elementary questions, like the centre of ge, commuting varieties associatedwith ge, or centralisers of commuting pairs. The second half of the paper addresses problems related to different Poisson structures on g∗ e and symmetric invariants of ge. RÉSUMÉ. Soit g une algèbre de Lie classique, i.e., gl n , sp n , ou son, et soit e un élément nilpotent de g. Nous étudions dans cet article diverses propriétés du centralisateur ge de e. Les quatre premières sections concernent des problèmes assez élémentaires portant sur le centre de ge, la variété commutante de ge, ou encore des centralisateurs des paires commutantes. La seconde partie aborde des questions liées aux différentes structures de Poisson sur g∗ e et aux invariants symétriques de ge.